Question

【题目】如图，直线l1：y=﹣x+3与x轴相交于点A，直线l2：y=kx+b经过点（3，﹣1），与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点C，与直线l1相交于点D．

（1）求直线l2的函数关系式；

（2）点P是l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标；

（3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线l2的函数关系式为：y=x﹣2；

（2）点P的坐标为（， ）或（， ）；

（3）存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）．

【解析】试题分析: （1）把点（3，﹣1），点B（6，0）代入直线l2，求出k、b的值即可；

（2）设点P的坐标为（t， t﹣2），求出D点坐标，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；

（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线A′B上求出m的值，进而可得出结论．

试题解析：

（1）由题知：

解得： ，

故直线l2的函数关系式为：y=x﹣2；

（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t， t﹣2）．

解方程组，得，

∴点D的坐标为（，﹣）．

∵S△ABP=2S△ABD，

∴AB|t﹣2|=2×AB|﹣|，即|t﹣2|=，解得：t=或t=，

∴点P的坐标为（， ）或（， ）；

（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B．

由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．

∵点A（3，0），

∴A′（3，6）

∵点B（6，0），

∴直线A′B的函数表达式为y=﹣2x+12．

∵点Q（m，3）在直线A′B上，

∴3=﹣2m+12

解得：m=，

故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）．