Question

【题目】问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数. 小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答.

问题迁移：

（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？

（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）∠APC=110° ;（2）∠CPD=∠α+∠β , 理由见解析;（3）∠CPD=∠α-∠β 或 ∠CPD=∠β-∠α

【解析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；

（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

（1）过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（两直线平行同旁内角互补）

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代换）

（2）∠CPD=∠α+∠β，

理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）当P在BA延长线时，

过P作PE∥AD交CD于E，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β-∠α；

当P在AB延长线时，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α-∠β．