题目内容

【题目】阅读材料:如图(一),ABC的周长,内切圆O的半径为r,连结OA、OB、OC,ABC被划分为三个小三角形,用SABC表示ABC的面积

SABC=SOAB+SOBC+SOCA

SOAB=,SOBC=,SOCA =

SABC=++= (可作为三角形内切圆半径公式)

(1)理解与应用:利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径;

(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与边都切的圆,如图(二))且积为S,边长分别为ab、c、d,试推导四边形的内圆半径公式;

(3)展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切,且积为S,各边长分别为a1a2a3、…、an,合理猜想其内切半径公式(不需说明理由).

【答案】(1)2;(2)r=;(3)r=

【解析】

试题分析:(1)根据上述三角形的内切圆的半径公式,由已知条件,结合勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形.可以首先求得其面积是30,其周长是5+12+13=30.再根据其公式代入计算;

(2)同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和的切点,根据四边形的面积等于四个直角三角形的面积进行计算;

(3)根据上述方法和结论,即可猜想到:任意多边形的内切圆的半径等于其面积的2倍除以多边形的周长.

试题解析:(1)以5,12,13为边长的三角形为直角三角形,易求得r=

(2)连接OA,OB,OC,OD,并设内接圆半径为r,

可得S四边形ABCD=SOAB+SOBC+SOCD+SODA

=ar+br+cr+dr=(a+b+c+dr.

r=

(3)猜想:r=

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