Question

已知关于x的一元二次方程x²+(m+3)x+m+1=0．
⑴求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
⑵若x₁，x₂是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）m=-3时，x₁=，x₂=-；m=1时，x₁=-2+，x₂=-2-.

试题分析：（1）根据关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b²-4ac的符号来判定该方程的根的情况；（2）根据根与系数的关系求得x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1；然后由已知条件“|x₁-x₂|=”可以求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
试题解析：（1）证明：∵△=（m+3）²-4（m+1）=（m+1）²+4
∵无论m取何值，（m+1）²+4恒大于0
∴原方程总有两个不相等的实数根
（2）∵x₁，x₂是原方程的两根
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1…5分
∵|x₁-x₂|=
∴（x₁-x₂）²=（）²
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8
∴[-（m+3）]²-4（m+1）=8∴m²+2m-3=0
解得：m₁=-3，m₂=1
当m=-3时，原方程化为：x²-2=0
解得：x₁=，x₂=-
当m=1时，原方程化为：x²+4x+2=0
解得：x₁=-2+，x₂=-2-
考点: 1.根的判别式；2.根与系数的关系．