题目内容
【题目】已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠FDE的顶点D在线段BC上，不与B、C重合．
（1）如图①，若DE∥AC，DF∥AB且点D在BC中点时，四边形AEDF是什么四边形并证明？
（2）将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，若∠B＝∠C＝∠EDF＝α，BD＝m，CD＝n，设△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S1S2的值．（用含有m、n、α的代数式表示）
（3）将∠EDF绕点D旋转至如图③所示位置，连接EF，若∠B＝∠C＝∠EDF，且EF垂直平分AD，BD＝m，CD＝n，则
的值为多少？（要有解答过程）．
【答案】（1）四边形AEDF是菱形，理由见解析；（2）S1S2＝
m2n2．sin2α；（3）
．
【解析】
（1）根据平行四边形的定义易证四边形AEDF是平行四边形，根据三角形的中位线定理和AB＝AC可得DE＝DF，进而可得结论；
（2）如图②中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，先根据三角形的面积公式和解直角三角形的知识得出S1S2＝mnBECFsin2α，然后根据三角形的内角和和已知条件可得∠DEB＝∠FDC，进而可证明△BDE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质可得BEFC与mn的关系，进一步即可得出结果；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠EDF＝∠BAC，进而可推出△ABC是等边三角形，于是AB＝BC＝AC＝m+n，设AE＝ED＝x，FA＝FD＝y，由△BED∽△CDF可得
，代入相关数据后再根据等比性质即可求出结果．
解：（1）结论：四边形AEDF是菱形．
理由：如图①中，∵BD＝DC，DE∥AC，DF∥AB，
∴AE＝EB，AF＝CF，四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝
AC，DF＝AB，
∵AB＝AC，∴DE＝DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）如图②中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，
则S1＝BDEG＝mBEsinα，S2＝CDFH＝nCFsinα，
∴S1S2＝mnBECFsin2α，
∵∠BDE+∠DEB+∠B＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，
∵∠EDF＝∠B，∴∠DEB＝∠FDC，
又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD．
∴
，即BEFC＝BDCD＝mn，
∴S1S2＝m2n2sin2α；
（3）如图③中，∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，FA＝FD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠FDA，∴∠EDF＝∠BAC，
∵∠B＝∠C＝∠EDF，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝m+n，
设AE＝ED＝x，FA＝FD＝y，
∵△BED∽△CDF，∴，∴
，
∴
．
即．
