Question

如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；

（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=

1

2

，求BE²+DG²的值．

Answer 1

分析：（1）四边形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．然后得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE．
（2）依题意得出AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka的线段比例，然后再推出∠CDE+∠DHO=90°即可．
（3）依题意得出BE²+DG²=BD²+GE²，从而可求解．

解答：解：（1）①BG=DE，
BG⊥DE．
②BG=DE，
BG⊥DE仍然成立．
在图（2）中证明如下
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE（1分），
∵在△BCG与△DCE中，

BC=CD ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．

（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立．
简要说明如下：
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，
且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），
∴

BC

DC

=

CG

CE

=

b

a

，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．


（3）∵BG⊥DE，
∴OB²+OD²=BD²，OE²+OG²=GE²，OB²+OE²=BE²，OG²+OD²=DG²，
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，
又∵a=3，b=2，k=

1

2

，
∴BD2+GE2=22+32+12+(

3

2

)2=

65

4

，
∴BE2+DG2=

65

4

．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，利用勾股定理求解，可有助于提高解题速度和准确率．