题目内容
如图1,在平面直角坐标系xoy中,Rt△AOB的斜边OB在x轴上,其中∠ABO=30°,OB=4.
(1)直接写出,Rt△AOB的内心P的坐标;
(2)如图2,若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度(0°<α<90°),得到Rt△ACD,直角边AD与x轴相交于点N,直角边AC与y轴相交于点M,连接MN.设△MON的面积为S△MON,△AOB的面积为S△AOB,以点M为圆心,MO为半径作⊙M,
①当直线AD与⊙M相切时,试探求S△MON与S△AOB之间的关系.
②当S△MON=
S△AOB时,试判断直线AD与⊙M的位置关系,并说明理由.
(1)直接写出,Rt△AOB的内心P的坐标;
(2)如图2,若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度(0°<α<90°),得到Rt△ACD,直角边AD与x轴相交于点N,直角边AC与y轴相交于点M,连接MN.设△MON的面积为S△MON,△AOB的面积为S△AOB,以点M为圆心,MO为半径作⊙M,
①当直线AD与⊙M相切时,试探求S△MON与S△AOB之间的关系.
②当S△MON=
1 |
4 |
(1)r=
=
-1
则P的坐标是:(3-
,
-1);
(2)①当AD与⊙M相切时,过M作MN⊥AO于点H,则MH=OM,此时,点H与点A重合.
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α,∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵MN∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴
=(
)2=(
)2=
;
②∵S△AMN=
S△AOB=
S△ACD,
∴
=
,
∵由(2)不难得出:∠MAO=∠BAN,∠AOM=∠ABO,
∴△OAM∽△ANB,
∴
=
=
=
,
∵设OM=x,BN=
x,NO=4-
x,
∴
=
,
解得:x1=
,x2=
,
∴当x=
时,OM=
,NO=1,
∴MN=2,∴AM=1,
∵d<r,
∴直线AD与⊙M相交,
当x=
时,MO=
,NO=3,
∴NM=
=
,
∴AM=
,
∵
>
,
∴直线AD与⊙M相离.
2+2
| ||
2 |
3 |
则P的坐标是:(3-
3 |
3 |
(2)①当AD与⊙M相切时,过M作MN⊥AO于点H,则MH=OM,此时,点H与点A重合.
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α,∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵MN∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴
S△MON |
S△ACD |
AN |
AD |
2 | ||
2
|
1 |
3 |
②∵S△AMN=
1 |
4 |
1 |
4 |
∴
| ||||
|
1 |
4 |
∵由(2)不难得出:∠MAO=∠BAN,∠AOM=∠ABO,
∴△OAM∽△ANB,
∴
MO |
BN |
AO |
AB |
2 | ||
2
|
1 | ||
|
∵设OM=x,BN=
3 |
3 |
∴
| ||||
|
1 |
4 |
解得:x1=
3 |
| ||
3 |
∴当x=
3 |
3 |
∴MN=2,∴AM=1,
∵d<r,
∴直线AD与⊙M相交,
当x=
| ||
3 |
| ||
3 |
∴NM=
9+
|
2
| ||
3 |
∴AM=
| ||
3 |
∵
| ||
3 |
| ||
3 |
∴直线AD与⊙M相离.
练习册系列答案
相关题目