题目内容

【题目】已知:如图,菱形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,且BE=BF=DH=DG.

(1)求证:四边形EFGH是矩形;

(2)已知∠B=60°,AB=6.

请从A,B两题中任选一题作答,我选择   题.

A题:当点EAB的中点时,矩形EFGH的面积是   

B题:当BE=   时,矩形EFGH的面积是8

【答案】(1)证明见解析;(2)AB;A题:9;B题:24.

【解析】

(1)根据题意与菱形的性质证得∠AEH+∠BEF=(180°﹣∠A)+(180°﹣∠B)=90°,同法可证:∠EFG=∠EHG=90°,根据矩形的判定即可得证;

(2)A题:连接AC,BD交于点O.根据题意与菱形的性质可得△ABC是等边三角形,根据等边三角形的性质可得个边长的长度,然后根据矩形的面积公式求解即可;

B题:设BE=x,则AE=6﹣x,EF=x,EH=(6﹣x),根据题意可列出关于x的方程,然后解方程即可.

(1)证明:四边形ABCD是菱形,

∴AD∥BC,AB=BC=CD=AD,

∴∠A+∠B=180°,

∵BE=BF=DH=DG,

∴AE=AH=CF=CG,

∴∠AEH=∠AHE=(180°﹣∠A),∠BEF=∠BFE=(180°﹣∠B),

∴∠AEH+∠BEF=(180°﹣∠A)+(180°﹣∠B)=90°,

同法可证:∠EFG=∠EHG=90°,

四边形EFGH是矩形

(2)解:A题:连接AC,BD交于点O.

∵AE=BE,

∴AH=DH,BF=CF,CG=GD,

∴EF=AC,EH=BD,

∵AB=BC=6,∠ABC=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴AC=AB=6,

∵OB⊥AC,

∴OB=3,BD=2OB=6

∴EF=3,EH=3

∴S矩形EFGH=EFEH=9

故答案为9

B题:设BE=x,则AE=6﹣x,EF=x,EH=(6﹣x),

由题意:x(6﹣x)=8

解得x=42,

∴BE=24.

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