Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E.若一个三角形模板与△ABE完全重合地叠放在一起，现将该模板绕 点E顺时针旋转.要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上，请探究平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件.

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】

三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别做射线EM，EN，EM，EN分别AB,CD于F,G使得∠BEM=∠AEN=60°，可证△BEF为等边三角形，即EB=EF，故B的对应点为F.根据SAS可证，即EA=GE

，故A的对应点为G. 由此可得：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°，AB=BC.

解：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在 的边上，的角和边需要满足的条件是：∠ABC=60°，AB=BC

理由如下：

三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别做射线EM，EN，使得∠BEM=∠AEN=60°，

∵AE⊥BC，即∠AEB=∠AEC=90°，

∴∠BEM<∠BEA

∴射线EM只能与AB边相交，记交点为F

在△BEF中，

∵∠B=∠BEF=60°，

∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=60°

∴∠B=∠BEF=∠BFE=60°

∴△BEF为等边三角形

∴EB=EF

∵当三角形模板绕点E旋转60°后，点B的对应点为F，此时点F在边AB边上

∵∠AEC=90°

∴∠AEN=60°<∠AEC

∴射线EN只可能与边AD或边CD相交

若射线EN与CD相交，记交点为G

在Rt△AEB中，∠1=90°-∠B=30°

∴BE=

∵AB=BC=BE+EC

∴EC=

∵∠GEC=∠AEC-∠AEG=90°-60°=30°

∵在中，AB//CD

∠C=180°-∠ABC=120°

又∵∠EGC=180°-120°-30°=30°

∴EC=GC

即AF=EF=EC=GC=,且∠1=∠GEC=30°

∴

∴EA=GE

∴当三角形模板绕点E旋转60°后，点A的对应点为G，此时点G在边CD边上

∴只有当∠ ABC=60°, AB= BC时,三角形模板绕点E顺时针旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上.

∴要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°，AB=BC.