题目内容

【题目】如图,A、P、B、C是O上的四点,APC=CPB=60°,过点C作CMBP交PA的延长线于点M.

(1)求证:ACM≌△BCP;

(2)若PA=1,PB=2,求PCM的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

试题(1)根据圆周角定理由APC=CPB=60°BAC=ABC=60°,则ABC是等边三角形,所以BC=AC,ACB=60°,再由CMBP得到PCM=BPC=60°,有可判断PCM是等边三角形,得到PC=MC,M=60°,易得PCB=ACM,然后利用AAS可判断ACM≌△BCP≌△ACM;

(2)由ACM≌△BCP≌△ACM得AM=PB=2,则PM=PA+AM=3,由于PCM是等边三角形,于是可根据等边三角形的性质计算其面积.

试题解析:(1)∵∠APC=CPB=60°∴∠BAC=ABC=60°.∴△ABC是等边三角形.

BC=AC,ACB=60°.

CMBP∴∠PCM=BPC=60°.

∵∠APC=60°∴△PCM是等边三角形. PC=MC,M=60°.

∵∠BCA-PCA=PCM-PCA,∴∠PCB=ACM.

ACM和BCP中,

∴△ACM≌△BCP≌△ACM(AAS).

(2)∵△ACM≌△BCP,AM=PB=2.PM=PA+AM=1+2=3.

∵△PCM是等边三角形,∴△PCM的面积=.

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