题目内容
【题目】如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
(1)求证:△ACM≌△BCP;
(2)若PA=1,PB=2,求△PCM的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题(1)根据圆周角定理由∠APC=∠CPB=60°得∠BAC=∠ABC=60°,则△ABC是等边三角形,所以BC=AC,∠ACB=60°,再由CM∥BP得到∠PCM=∠BPC=60°,有可判断△PCM是等边三角形,得到PC=MC,∠M=60°,易得∠PCB=∠ACM,然后利用“AAS“可判断△ACM≌△BCP≌△ACM;
(2)由△ACM≌△BCP≌△ACM得AM=PB=2,则PM=PA+AM=3,由于△PCM是等边三角形,于是可根据等边三角形的性质计算其面积.
试题解析:(1)∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠BAC=∠ABC=60°.∴△ABC是等边三角形.
∴BC=AC,∠ACB=60°.
∵CM∥BP,∴∠PCM=∠BPC=60°.
又∵∠APC=60°,∴△PCM是等边三角形. ∴PC=MC,∠M=60°.
∵∠BCA-∠PCA=∠PCM-∠PCA,∴∠PCB=∠ACM.
在△ACM和△BCP中,,
∴△ACM≌△BCP≌△ACM(AAS).
(2)∵△ACM≌△BCP,∴AM=PB=2.∴PM=PA+AM=1+2=3.
∵△PCM是等边三角形,∴△PCM的面积=.

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