题目内容

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点F为AC中点,⊙O经过点B,F,且与AC交于点D,与AB交于点E,与BC交于点G,连结BF,DE,弧EFG的长度为(1+)π.

(1)求⊙O的半径;

(2)若DE∥BF,且AE=a,DF=2+﹣a,请判断圆心O和直线BF的位置关系,并说明理由.

【答案】(1)r=1+;(2)圆心O在直线BF上.理由见解析.

【解析】

(1)设⊙O的半径为r,再根据弧长公式即可得出结论;

(2)先根据DEBF得出∠ADE=AFB,再根据圆内接四边形的性质得出∠AFB+DEB=180°,进而得出AF的长.在RtABC中,根据直角三角形的性质求出BF的长,再由B、F都在⊙O上即可得出结论.

(1)设⊙O的半径为r,

∵∠ABC=90°

∴弧EFG所对的圆心角的度数为180°,

=(1+)π,即r=1+

(2)答:圆心O在直线BF上.

理由如下:

DEBF,

∴∠ADE=AFB.

∵四边形DEBF是⊙O的内接四边形,

∴∠AFB+DEB=180°.

∵∠AED+DEB=180°,

∴∠AFB=AED,

∴∠ADE=AED,

AD=AE=a.

DF=2+﹣a,

AF=AD+DF=2+

RtABC中,∠ABC=90°FAC中点,

BF=AF=2+

r=1+

BF=2r.

B、F都在⊙O上,

BF为⊙O直径,

∴点O在直线BF上.

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