题目内容
【题目】尺规作图及探究：
已知：线段AB=a．
（1）完成尺规作图：
点P在线段AB所在直线上方，PA=PB，且点P到AB的距离等于
，连接PA，PB，在线段AB上找到一点Q使得QB=PB，连接PQ，并直接回答∠PQB的度数；
（2）若将（1）中的条件“点P到AB的距离等于”替换为“PB取得最大值”，其余所有条件都不变，此时点P的位置记为
，点Q的位置记为
，连接
，并直接回答∠
的度数．
【答案】（1）见解析，67.5
；（2）60
【解析】
（1）作线段AB的垂直平分线DE，D为垂足，在射线DE上截取DP=
，连接PA，PB即可解决问题．
（2）作等边三角形P′AB即可解决问题．
解：（1）作图见图4．如图，点P即为所求．
因为：点P到AB的距离等于
，PA=PB
所以：
为等腰直角三角形，∠PBA=45°
∵BP=BQ，， ∴∠PQB=∠BPQ=67.5°．
（2）作图见图4， 当P′B取得最大值时，△ABP′是等边三角形，
所以
是等边三角形， ∴
=60°．
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