Question

如图，函数y=-x+4的图象分别交x轴，y轴于点N、M，过MN上的两点A、B分别向x轴作垂线，与x轴交于A₁（x₁，0），B₁（x₂，0），A₁在B₁的左边，若OA₁+OB₁＞4．
（1）分别用含x₁、x₂的代数式表示△OA₁A的面积S₁与△OB₁B的面积S₂．
（2）请判断△OA₁A的面积S₁与△OB₁B的面积S₂的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题须先设出A、B的坐标，再分别用x₁、x₂表示出OA₁A₁AOB₁B₁B的长即可得出结果．
（2）本题须先求出S₁-S₂的值，再通过结果的符号即可判断出S₁、S₂的大小．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=-x₁+4，y₂=-x₂+4．
（1）S1=

1

2

OA1•A1A=

1

2

x1(-x1+4)=-

1

2

x

2 1

+2x1．S2=

1

2

OB1•B1B=

1

2

x2(-x2+4)=-

1

2

x

2 2

+2x2．
（2）S₁＞S₂．
理由如下：S1-S2=-

1

2

(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(x1-x2)=-

1

2

(x1-x2)(x1+x2-4)．
由题意知x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4．所以，x₁-x₂＜0，x₁+x₂-4＞0．
可得S₁-S₂＞0，即S₁＞S₂．

点评：本题主要考查了一次函数的综合应用，在解题时要注意把一次函数的性质与三角形的面积求法相结合是本题的关键．