题目内容
【题目】如图,在锐角△ABC中,AC是最短边.以AC为直径的⊙O,交BC于D,过O作OE∥BC,交OD于E,连接AD、AE、CE.
(1)求证:∠ACE=∠DCE;
(2)若∠B=45°,∠BAE=15°,求∠EAO的度数;
(3)若AC=4,,求CF的长.
【答案】(1)证明见解析,(2)60°;(3)
【解析】
(1)易证∠OEC=∠OCE,∠OEC=∠ECD,从而可知∠OCE=∠ECD,即∠ACE=∠DCE;
(2)延长AE交BC于点G,易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°,由于OE∥BC,所以∠AEO=∠AGC=60°,所以∠EAO=∠AEO=60°;
(3)易证,由于
,所以
=
,由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°,从而可证明△CDF∽△CEA,利用三角形相似的性质即可求出答案.
(1)∵OC=OE,∴∠OEC=∠OCE.
∵OE∥BC,∴∠OEC=∠ECD,∴∠OCE=∠ECD,即∠ACE=∠DCE;
(2)延长AE交BC于点G.
∵∠AGC是△ABG的外角,∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°.
∵OE∥BC,∴∠AEO=∠AGC=60°.
∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO=60°.
(3)∵O是AC中点,∴
,∴
=
.
∵AC是直径,∴∠AEC=∠FDC=90°.
∵∠ACE=∠FCD,∴△CDF∽△CEA,∴=
,∴CF=
CA=
.

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