题目内容
【题目】如图,将一个直角三角形纸片,放置在平面直角坐标系中,点,点,点.将沿翻折得到(点为点的对应点).
(Ⅰ)求的长及点的坐标;
(Ⅱ)点是线段上的点,点是线段上的点.
①已知,,是轴上的动点,当取最小值时,求出点的坐标及点到直线的距离;
②连接,,且,现将沿翻折得到(点为点的对应点),再将绕点顺时针旋转,旋转过程中,射线,交直线分别为点,,最后将沿翻折得到(点为点的对应点),连接,若,求点的坐标(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ),点坐标为;(Ⅱ)①点的坐标为,点到直线的距离为;②或或.
【解析】
(Ⅰ)根据A点坐标和翻折的性质可得四边形OBAD为正方形,即可得出D点坐标,再利用勾股定理得出OA的长.
(Ⅱ)①作点关于轴的对称点,连接与轴交于点,则点即为所求,再根据待定系数法确定直线的解析式,求出直线与x轴的交点的坐标,再根据等积法求出点到直线的距离即可.
②分(a)当点M在线段EA的延长线上,点N在线段AE时,(b)当点M,N在线段EA上时,(c)当点M在线段EA上,点N在AE的延长线上时,三种情况进行讨论,作MH⊥OB于H,GK⊥EB于K,然后证明△AMH≌△GAK,推出HM=EH=BK,BH=GK,所以BH=EK=GK,从而得出∠MEG=90°,由NE:EG=5:12,设NE=5k,EG=12k,则MN=NG=13k,EM=18k,可得BH=GK=EK=6k,EH=MH=9k,再根据HE=AH+AE,得出关于k的方程,得出k的值即可解决问题;
解:(Ⅰ)如图,∵,,
∴,.
在中,.
∵,
∴.
∵将沿翻折得到,
∴.
∴
∴点落在轴上.点坐标为.
(Ⅱ)①如图,作点关于轴的对称点,连接与轴交于点,连接,若在轴上任取点(与点不重合).连接,,,
由,
可知最小.
∵将沿翻折得到.
∴,
∵,
.
∴.
∵,
∴.
设直线的方程为.
将的坐标代入,
得,
解得.
∴直线的方程为
当时,,
∴当取最小值时,点的坐标为.
在中,,.
∴.
过点作,垂足为点,
∵,
∴
∴当取最小值时,点到直线的距离为.
②(a)如图3中,当点M在线段EA的延长线上,点N在线段AE时,
作MH⊥OB于H,GK⊥EB于K,
由翻折可知:∠MBN=∠NBG=45°,BM=BG,
∴∠MBG=90°,
∵∠MHB=∠K=90°,
∴∠MBH+∠GBK=90°,∠HBM+∠BMH=90°,
∴∠BMH=∠GBK,
∴△BMH≌△GBK,
∴HM=EH=BK,BH=GK,
∴BH=EK=GK,
∴∠GEK=∠BEA=45°,
∴∠MEG=90°,
∵NE:EG=5:12,设NE=5k,EG=12k,则MN=NG=13k,EM=18k,
∴BH=GK=EK=6k,EH=MH=9k,
∵HE=BH+BE,
∴9k=6k+3,
∴k=,∴EH=MH=9,
∴OH=3.∴点的坐标为
(b)如图4中,当点M,N在线段EA上时,同法可得:点的坐标为.
(c)如图5中,当点M在线段EA上,点N在AE的延长线上时,同法可得:点的坐标为.
综上所述,点的坐标或或.