题目内容
【题目】如图，将一个直角三角形纸片
，放置在平面直角坐标系中，点
，点
，点
.将
沿
翻折得到
（点
为点
的对应点）.
（Ⅰ）求的长及点的坐标；
（Ⅱ）点
是线段
上的点，点
是线段
上的点.
①已知
，
，
是
轴上的动点，当
取最小值时，求出点的坐标及点到直线
的距离；
②连接
，
，且
，现将
沿
翻折得到
（点
为点
的对应点），再将
绕点顺时针旋转，旋转过程中，射线，交直线
分别为点
，
，最后将
沿
翻折得到
（点
为点的对应点），连接
，若
，求点的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（Ⅰ）
，
点坐标为
；（Ⅱ）①点
的坐标为
，点到直线
的距离为
；②
或
或
.
【解析】
（Ⅰ）根据A点坐标和翻折的性质可得四边形OBAD为正方形，即可得出D点坐标，再利用勾股定理得出OA的长.
（Ⅱ）①作点
关于
轴的对称点
，连接
与轴交于点
，则点即为所求，再根据待定系数法确定直线的解析式，求出直线与x轴的交点的坐标，再根据等积法求出点
到直线
的距离即可.
②分(a)当点M在线段EA的延长线上，点N在线段AE时，（b）当点M，N在线段EA上时，(c)当点M在线段EA上，点N在AE的延长线上时，三种情况进行讨论，作MH⊥OB于H，GK⊥EB于K,然后证明△AMH≌△GAK，推出HM=EH=BK，BH=GK，所以BH=EK=GK，从而得出∠MEG=90°，由NE：EG=5：12，设NE=5k，EG=12k，则MN=NG=13k，EM=18k，可得BH=GK=EK=6
k，EH=MH=9k，再根据HE=AH+AE，得出关于k的方程，得出k的值即可解决问题；
解：（Ⅰ）如图，∵
，
，
∴
，
.
在
中，
.
∵
，
∴
.
∵将
沿
翻折得到
，
∴
.
∴
∴点落在
轴上.点坐标为
.
（Ⅱ）①如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接
，若在轴上任取点
（与点不重合）．连接
，
，
，
由
，
可知
最小.
∵将沿翻折得到.
∴
，
∵
，
.
∴
.
∵
，
∴
.
设直线
的方程为
.
将的坐标代入，
得
，
解得
.
∴直线的方程为
当
时，
，
∴当取最小值时，点的坐标为
.
在
中，
，
.
∴
.
过点作
，垂足为点
，
∵
，
∴
∴当取最小值时，点到直线的距离为
.
②(a)如图3中，当点M在线段EA的延长线上，点N在线段AE时，
作MH⊥OB于H，GK⊥EB于K,
由翻折可知：∠MBN=∠NBG=45°，BM=BG，
∴∠MBG=90°，
∵∠MHB=∠K=90°，
∴∠MBH+∠GBK=90°，∠HBM+∠BMH=90°，
∴∠BMH=∠GBK，
∴△BMH≌△GBK，
∴HM=EH=BK，BH=GK，
∴BH=EK=GK，
∴∠GEK=∠BEA=45°，
∴∠MEG=90°，
∵NE：EG=5：12，设NE=5k，EG=12k，则MN=NG=13k，EM=18k，
∴BH=GK=EK=6k，EH=MH=9k，
∵HE=BH+BE，
∴9k=6k+3，
∴k=
，∴EH=MH=9,
∴OH=3．∴点
的坐标为
（b）如图4中，当点M，N在线段EA上时，同法可得：点的坐标为
.
（c）如图5中，当点M在线段EA上，点N在AE的延长线上时，同法可得：点的坐标为
．
综上所述，点的坐标或或．
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