题目内容

【题目】如图,将一个直角三角形纸片,放置在平面直角坐标系中,点,点,点.将沿翻折得到(点为点的对应点).

(Ⅰ)求的长及点的坐标;

(Ⅱ)点是线段上的点,点是线段上的点.

①已知轴上的动点,当取最小值时,求出点的坐标及点到直线的距离;

②连接,且,现将沿翻折得到(点为点的对应点),再将绕点顺时针旋转,旋转过程中,射线交直线分别为点,最后将沿翻折得到(点为点的对应点),连接,若,求点的坐标(直接写出结果即可).

【答案】(Ⅰ)点坐标为;(Ⅱ)①点的坐标为,点到直线的距离为;②.

【解析】

(Ⅰ)根据A点坐标和翻折的性质可得四边形OBAD为正方形,即可得出D点坐标,再利用勾股定理得出OA的长.

(Ⅱ)①作点关于轴的对称点,连接轴交于点,则点即为所求,再根据待定系数法确定直线的解析式,求出直线x轴的交点的坐标,再根据等积法求出点到直线的距离即可.

②分(a)当点M在线段EA的延长线上,点N在线段AE时,(b)当点MN在线段EA上时,(c)当点M在线段EA上,点NAE的延长线上时,三种情况进行讨论,作MHOBHGKEBK,然后证明AMH≌△GAK,推出HM=EH=BKBH=GK,所以BH=EK=GK,从而得出∠MEG=90°,由NEEG=512,设NE=5kEG=12k,则MN=NG=13kEM=18k,可得BH=GK=EK=6kEH=MH=9k,再根据HE=AH+AE,得出关于k的方程,得出k的值即可解决问题;

解:(Ⅰ)如图,∵

.

中,.

.

∵将沿翻折得到

.

∴点落在轴上.点坐标为.

(Ⅱ)①如图,作点关于轴的对称点,连接轴交于点,连接,若在轴上任取点(与点不重合).连接

可知最小.

∵将沿翻折得到.

.

.

.

设直线的方程为.

的坐标代入,

解得.

∴直线的方程为

时,

∴当取最小值时,点的坐标为.

中,.

.

过点,垂足为点

∴当取最小值时,点到直线的距离为.

(a)如图3中,当点M在线段EA的延长线上,点N在线段AE时,

MHOBHGKEBK,

由翻折可知:∠MBN=NBG=45°BM=BG
∴∠MBG=90°
∵∠MHB=K=90°
∴∠MBH+GBK=90°,∠HBM+BMH=90°
∴∠BMH=GBK
∴△BMH≌△GBK
HM=EH=BKBH=GK
BH=EK=GK
∴∠GEK=BEA=45°
∴∠MEG=90°
NEEG=512,设NE=5kEG=12k,则MN=NG=13kEM=18k
BH=GK=EK=6kEH=MH=9k
HE=BH+BE
9k=6k+3
k=,∴EH=MH=9,
OH=3.∴点的坐标为
b)如图4中,当点MN在线段EA上时,同法可得:点的坐标为.

c)如图5中,当点M在线段EA上,点NAE的延长线上时,同法可得:点的坐标为

综上所述,点的坐标

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