Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）若OD＝DE，AB＝6，求由，线段BC，AB所围成图形的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）π+．

【解析】

（1）连接OC，易证得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE＝∠OBE＝90°，证得BE与⊙O相切；

（2）根据切线的性质得到CE＝BE，推出四边形OBEC是正方形，得到∠BOC＝90°，根据平角的定义得到∠AOC＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

（1）证明：连接OC，

∵CE是⊙O的切线，

∵OB＝OC，OD⊥BC，

∴∠EOC＝∠EOB，

∵在△EOC和△EOB中，，

∴△COE≌△BOE（SAS），

∴∠OCE＝∠OBE＝90°，

即OB⊥BE，

∴BE与⊙O相切；

（2）解：∵CE，BE是⊙O的切线，

∴CE＝BE，

∵OE⊥BC，OD＝DE，

∴OC＝CE，OB＝BE，

∴OC＝OB＝BE＝CE，

∴四边形OBEC是菱形，

∵∠OBE＝90°，

∴四边形OBEC是正方形，

∴∠BOC＝90°，

∴∠AOC＝90°，

∵AB＝6，

∴AO＝OC＝OB＝3，

∴由,线段BC，AB所围成图形的面积=S扇形AOC+S△BCO＝+×3×3＝π+．