题目内容

【题目】如图,△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,∠BCA的平分线与AB的垂直平分线DG交于点D,DE⊥CA的延长线于点E,DF⊥CB于点F.

(1)判断△ABC的形状,并说明理由;

(2)求证:AE=BF;

(3)求DG的长.

【答案】(1)直角三角形;(2)过程见解析;(3)5.

【解析】

(1)根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形;

(2)根据中垂线、角平分线的性质来证明Rt△AED≌Rt△BFD,然后根据全等三角形的对应边相等推知AE=BF;

(3)首先根据(1)(2)得出的结论,证明△ADB是直角三角形,再利用三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,进而得出DG.

:(1)∵AC=6,BC=8,AB=10,

∴AC2+BC2=AB2

ABC是直角三角形

(2)证明:连接AD、BD,

∵CD是∠BCA的平分线,DE⊥AC,DF⊥BC,

∴DE=DF,

∵DGAB边的垂直平分线,

∴DA=DB,

Rt△AEDRt△BFD中,

∴Rt△AED≌Rt△BFD(HL),

∴AE=BF;

(3)(1)得∠ACB=90°

∵∠E=DFC=90°

∴∠EDF=90°

(2)知∠EDA=FDB,

∴∠ADB=90°,

∵DG⊥AB,DA=DB,

∴DG=AB=5.

故答案为:(1)直角三角形;(2)过程见解析;(3)5.

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