Question

如图，在菱形ABCD中，∠D=45°，AE⊥BC，BF=AC，
（1）求证：△AEC≌△BEF；   
（2）求：∠FBE的度数．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的对角相等可得∠ABC=∠D=45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AE=BE，然后利用“HL”证明△AEC和△BEF全等；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠BAC，再根据∠EAC=∠BAC-∠BAE计算求出∠EAC，然后根据全等三角形对应角相等解答．

解答：（1）证明：在菱形ABCD中，∠D=45°，
∴∠ABC=∠D=45°，
又∵AE⊥BC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
在△AEC和△BEF中，

BF=AC AE=BE

，
∴△AEC≌△BEF（HL）；

（2）解：∵∠ABC=∠BAE=45°，AB=BC，
∴∠BAC=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=67.5°-45°=22.5°，
∵△AEC≌△BEF，
∴∠FBE=∠EAC=22.5°．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．