Question

已知抛物线y=－x²+2(m－3)x+m－1与x轴交于B,A两点,其中点B在x轴的负半轴上,点A在x轴的正半轴上,该抛物线与y轴于点C。
(1)写出抛物线的开口方向与点C的坐标(用含m的式子表示)；(2分)
(2)若tg∠CBA=3,试求抛物线的解析式；(6分)
(3)设点P(x,y)（其中0＜x＜3）是(2)中抛物线上的一个动点,试求四边形AOCP的面积的最大值及此时点P的坐标。(6分)

Answer 1

（1）抛物线的开口向下,点C的坐标是(0,m－1)（2）y=－x²+2x+3（3）点P的坐标为()时,四边形AOCP的面积达到最大值 

解：(1)抛物线的开口向下,点C的坐标是(0,m－1)    (2分)
(2)∵点A、B分别在x轴的正、负半轴上
∴方程－x²+2 (m－3)x+m－1=0的两根异号,即m－1＞0
∴OC=m－1,由tan∠CAB=3,得OB=OC=(m－1) ∴点B的坐标为() (4分)
代入解析式得
由m+1≠0得    ∴m=4     (7分)
抛物线的解析式为y=－x²+2x+3       (8分)
（3）当0＜x＜3时,y＞0,∴四边形AOCP的面积为
S_△COP+S_△OPA= (10分)=  (12分)
∴当点P的坐标为()时,四边形AOCP的面积达到最大值   (14分)
（1）二次函数的二次项系数是-1＜0，因而抛物线的开口向下．在函数解析式中令x=0解得y的值，就是C的纵坐标；
（2）解方程-x²+2（m-3）x+m-1=0得到方程的两个根，tan∠CBA=3，就可以转化为OB，OC之间的关系，就可以用m表示出B点的坐标，把B点的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到一个关于m的方程，从而解出m的值．得到函数的解析式；
（3）四边形AOCP的面积为S_△COP+S_△OPA，这两个三角形的面积就可以用x表示出来，从而把面积表示成x的函数，转化为函数的最值问题．