Question

【题目】在四边形中，．

（1）如图，若，，，求的长；

（2）如图，若，连接，求证：平分；

（3）在（2）的条件下，若，，直接写出的长度为________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）先根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可；

（2）连接AC，过点C作CF⊥AD于F，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，可得四边形AECF是矩形，然后证明△CFD≌△CEB，求出CF＝CE，可得四边形AECF是正方形，根据正方形的性质可得结论；

（3）根据全等三角形的性质和正方形的性质求出BE＝1，可得正方形AECF的边长为4，然后根据勾股定理可求出AC的长度．

解：（1）∵，

∴，

∴；

（2）连接AC，过点C作CF⊥AD于F，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，

则∠CFA＝∠FAE＝∠AEC＝90°，

∴四边形AECF是矩形，

∴∠FCE＝90°，

∵∠DCB＝90°，

∴∠DCF＝∠BCE，

又∵∠CFD＝∠CEB＝90°，CD＝CB，

∴△CFD≌△CEB，

∴CF＝CE，

∴四边形AECF是正方形，

∵AC是对角线，

∴平分；

（3）由（2）可知，△CFD≌△CEB，

∴DF＝BE，

∵四边形AECF是正方形，，，

∴AE＝AF，即AB＋BE＝AD－DF，

∴3＋BE＝5－BE，

∴BE＝1，

∴AE＝4，

∴AC＝．