题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B(A点在B点的左侧)与y轴交于点C.
(1)如图1,连接AC、BC,若△ABC的面积为3时,求抛物线的解析式;

(2)如图2,点P为第四象限抛物线上一点,连接PC,若∠BCP=2∠ABC时,求点P的横坐标;

(3)如图3,在(2)的条件下,点F在AP上,过点P作PH⊥x轴于H点,点K在PH的延长线上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=﹣4 a,连接KB并延长交抛物线于点Q,求PQ的长.

【答案】
(1)

解:当y=0时,ax2﹣5ax+4a=0,解得x1=1,x2=4,则A(1,0),B(4,0),

∴AB=3,

∵△ABC的面积为3,

4OC=3,解得OC=2,则C(0,﹣2),

把C(0,﹣2)代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2,解得a=﹣

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x﹣2


(2)

解:过点P作PH⊥x轴于H,作CD⊥PH于点H,如图2,

设P(x,ax2﹣5ax+4a),则PD=4a﹣(ax2﹣5ax+4a)=﹣ax2+5ax,

∵AB∥CD,

∴∠ABC=∠BCD,

∵∠BCP=2∠ABC,

∴∠PCD=∠ABC,

∴Rt△PCD∽Rt△CBO,

∴PD:OC=CD:OB,

即(﹣ax2+5ax):(﹣4a)=x:4,解得x1=0,x2=6,

∴点P的横坐标为6


(3)

解:过点F作FG⊥PK于点G,如图3,

∵AK=FK,

∴∠KAF=∠KFA,

而∠KAF=∠KAH+∠PAH,∠KFA=∠PKF+∠KPF,

∵∠KAH=∠FKP,

∴∠HAP=∠KPA,

∴HA=HP,

∴△AHP为等腰直角三角形,

∵P(6,10a),

∴﹣10a=6﹣1,解得a=﹣

在Rt△PFG中,∵PF=﹣4 a=2 ,∠FPG=45°,

∴FG=PG= PF=2,

在△AKH和△KFG中

∴△AKH≌△KFG,

∴KH=FG=2,

∴K(6,2),

设直线KB的解析式为y=mx+n,

把K(6,2),B(4,0)代入得

解得

∴直线KB的解析式为y=x﹣4,

当a=﹣ 时,抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x﹣2,

解方程组

解得

∴Q(﹣1,﹣5),

而P(6,﹣5),

∴PQ∥x 轴,

∴QP=7.


【解析】(1)通过解方程ax2﹣5ax+4a=0可得到A(1,0),B(4,0),然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标,再把C点坐标代入y=ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式;(2)过点P作PH⊥x轴于H,作CD⊥PH于点H,如图2,设P(x,ax2﹣5ax+4a),则PD=﹣ax2+5ax,通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO,利用相似比可得到(﹣ax2+5ax):(﹣4a)=x:4,然后解方程求出x即可得到点P的横坐标;(3)过点F作FG⊥PK于点G,如图3,先证明∠HAP=∠KPA得到HA=HP,由于P(6,10a),则可得到﹣10a=6﹣1,解得a=﹣ ,再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG=PG= PF=2,接着证明△AKH≌△KFG,得到KH=FG=2,则K(6,2),然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x﹣4,再通过解方程组 得到Q(﹣1,﹣5),利用P、Q点的坐标可判断PQ∥x 轴,于是可得到QP=7.

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