Question

如图：已知正方形ABCD的对角线AC长为20cm，半径为1的⊙O₁的圆心O₁从A点出发以1cm/s的速度向C运动，半径为1的⊙O₂的圆心O₂从C点出发以2cm/s的速度向A运动且半径同时也以1cm/s的速度不断增大，两圆同时运动，当其中一个圆的圆心运动到AC的端点时，另一个圆也停止运动．

（1）当O₁运动了几秒时，⊙O₁与AD相切？
（2）当O₂运动了几秒时，⊙O₂与CB相切？
（3）当O₂运动了几秒时，⊙O₁与⊙O₂相切？

Answer 1

（1）（2）（3）4.5秒、5秒、10秒

试题分析：
解：（1）设⊙O₁运动了t秒时⊙O₁与AD相切于E连接OE，∴OE⊥AD，∵AC为正方形的对角线，∴△A O₁E为等腰直角三角形，∴AE=O₁E=1，∵A O₁=t∴t²=1²+1²，解得t₁=，t₂=-（舍去），当O₁运动了秒时⊙O₁与AD相切；
（2）设O₂运动了t秒时，⊙O₂与BC相切于F，则△C O₂F为等腰直角三角形，
∴CF=O₂F=t+1，∵C O₂=2t，∴（2t）²=（t+1）²+（t+1）²
解得t₁=，t₂=（舍去），∴当O₂运动了（）秒时，⊙O₂与BC相切；
（3）设运动了t秒时⊙O₁，⊙O₂相切，则O₁A=t，O₂C=2t，①如图③⊙O₁与⊙O₂第一次相切时，则O₁ O₂=1+t+1，∵O₁ O₂=AC-O₁A-O₂C，∴1+t+1=20-t-2t，解得t=，
②如图④⊙O₁与⊙O₂第二次相切时则O₁ O₂=t+1-1，∵O₁ O₂=20-t-2t，∴t+1-1=20-t-2t  解得t=5，（2分）
③如图⑤⊙O₁与⊙O₂第三次相切时则O₁ O₂=t+1-1=t，∵O₁ O₂=O₁A-O₂C-AC=t+2t-20，∴t=t+2t-20， 解得t=10，∵t=10时，O₂C=2×10=20∴此时O₂落在AC的端点A上，（2分）∴当运动了4.5秒、5秒、10秒时⊙O₁与⊙O₂相切．

点评：该题运用的知识点较为简单，两圆相切，半径的关系要清楚，相切有内切和外切，学生要分情况分析。