Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD.

（1）若∠ABC＝20°，则∠OCA的度数为    ；
（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）70°；（2）相切；（3）

试题分析：（1）连接OA，根据圆周角定理可求得∠AOC的度数，再根据圆的基本性质即可求得结果；
（2）延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．先根据圆周角定理求得∠ECA＝90°，再结合ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，可得∠EAC＋∠CAD＝90°，即可证得结论；    
（3）设OD与AB的交点为点G．根据垂径定理可得AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．在Rt△OGA中，设OA＝x，根据勾股定理即可列方程求解．
（1）连接OA

∵∠ABC＝20°
∴∠AOC＝40°
∵OA=OC
∴∠OCA＝70°； 
（2）延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．

∵AE是⊙O的直径，
∴∠ECA＝90°，
∴∠EAC＋∠AEC＝90°．
又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，
∴∠EAC＋∠CAD＝90°．
即OA⊥AD，而点A在⊙O上，
∴直线AD与⊙O相切；    
（3）设OD与AB的交点为点G．
∵OD⊥AB，
∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，
在Rt△ACG中，可得GC＝3．  
在Rt△OGA中，设OA＝x，
由OA²＝OG²＋AG²，得x²＝(x－3)²＋4²  
解得x＝，即⊙O的半径为．
点评：圆的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.