题目内容

【题目】已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AEBD交于点F,

(1)如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB=   ;如图2,若∠ACD=90°,则∠AFB=   ;如图3,若∠ACD=120°,则∠AFB=   

(2)如图4,若∠ACD=α,则∠AFB=   (用含α的式子表示);

(3)将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),变成如图5所示的情形,若∠ACD=α,则∠AFBα的有何数量关系?并给予证明.

【答案】(1)120°,90°,60°;(2)180°﹣α;(3)∠AFB=180°﹣α,证明详见解析.

【解析】

(1)如图1,证明△ACE≌△DCB根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC,再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可;如图2,证明△ACE≌△DCB,得出∠AEC=∠DBC,又有∠FDE=∠CDB,进而得出∠AFB=90°;如图3,证明△ACE≌△DCB,得出∠EAC=∠BDC,又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°,进而求出∠AFB=60°;(2)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB,再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB,从而得出∠DFA=∠ACD,得到结论∠AFB=180°-α;(3)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB,通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA,由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α.

解:(1)如图1,CA=CD,∠ACD=60°,

所以△ACD是等边三角形.

∵CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,

所以△ECB是等边三角形.

∵AC=DC,∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠BCD=∠BCE+∠DCE,

∵∠ACD=∠BCE,

∴∠ACE=∠BCD.

∵AC=DC,CE=BC,

∴△ACE≌△DCB.

∴∠EAC=∠BDC.

∠AFB△ADF的外角.

∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.

如图2,∵AC=CD,∠ACE=∠DCB=90°,EC=CB,

∴△ACE≌△DCB.

∴∠AEC=∠DBC,

∵∠FDE=∠CDB,∠DCB=90°,

∴∠EFD=90°.

∴∠AFB=90°.

如图3,∵∠ACD=∠BCE,

∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.

∴∠ACE=∠DCB.

∵CA=CD,CE=CB,

∴△ACE≌△DCB.

∴∠EAC=∠BDC.

∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣(180﹣∠ACD)=120°,

∴∠FAB+∠FBA=120°.

∴∠AFB=60°.

故填120°,90°,60°.

(2)∵∠ACD=∠BCE,

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.

∴∠ACE=∠DCB.

∴∠CAE=∠CDB.

∴∠DFA=∠ACD.

∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.

(3)∠AFB=180°﹣α;

证明:∵∠ACD=∠BCE=α,则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,

∠ACE=∠DCB.

△ACE△DCB

△ACE≌△DCB(SAS).

∠CBD=∠CEA,由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.

∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.

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