题目内容
【题目】在正方形ABCD中，AB＝6，E为直线AB上一点，EF⊥AB交对角线AC于F，点G为AF中点，连接CE，点M为CE中点，连接BM并延长交直线AC于点O．
（1）如图1，E在边AB上时，
＝ ，∠GBM＝ ；
（2）将（1）中△AEF绕A逆时针旋转任意一锐角，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否任然成立？请加以证明．
（3）若BE＝2，则CO长为 ．
【答案】（1）
，45°；（2）成立，理由见解析；（3）
或3．
【解析】
（1）连结EG、GM．想办法证明△GBM是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）成立．延长GM到H，使得MH=GM，连接BH，HC，延长HC交AF的延长线于I，设AI交CD于J．利用全等三角形的性质证明△GBM是等腰直角三角形即可解决问题．
（3）分两种情形①点E在线段AB上．②点E在AB的延长线上，分别求解即可解决问题．
解：（1）连结EG、GM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∵AG＝GF，
∴EG⊥AF，
∴∠EGC＝90°
∵EM＝MC，
∴GM＝BM＝
CE，
∴∠MCG＝∠MGC，∠MBC＝∠MCB，
∴∠BMG＝∠BME+∠GME＝2∠BMC+2∠GCM＝2∠ACB＝90°．
故△GMB为等腰直角三角形．
∴
．
故答案为，45°．
（2）成立．
理由：延长GM到H，使得MH＝GM，连接BH，HC，延长HC交AF的延长线于I，设AI交CD于J．
∵EM＝MC，GM＝MH，∠EMG＝∠HMC，
∴△EMG≌△CMH（SAS），
∴EG＝CH，∠EGM＝∠MHC，
∴EC∥CH，
∴∠AGE＝∠AIH＝90°，
∵AG＝EG，
∴AG＝CH，
∵∠D＝∠I＝90°，∠AJD＝∠CJI，
∴∠ICD＝∠IAD，
∵∠BAG+∠IAD＝90°，∠BCH+∠ICF＝90°
∴∠BCH＝∠BAG，
∵BA＝BC
∴△BAG≌△BCH（SAS），
∴BG＝DH，∠ABG＝∠CBH，
∴∠∠GBH＝∠ABC＝90°
故△GBH是等腰直角三角形，
∴，∠GBM＝45°．
（3）当E在B上方时，如图3﹣1中，延长BO交CD于T．
∴BE∥CT，
∴∠MEB＝∠MCT，
∵∠EMB＝∠CMT，EM＝CM，
∴△EMB≌△CMT（ASA），
∴BE＝CT＝2，
∵CT∥AB，
∴
，
∵AC=6，
∴OC=
×6
∴CO=
当E在B下方时同法可得CO=3．
综上所述，OC的长为或3．
故答案为或3．
