Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BD平分∠ABC，E是AD延长线上一点．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）求证：∠ABC=∠EDC．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线定义和三角形内角和定理可得∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠CDB=90°，再根据等角的余角相等可得∠ADB=∠CDB，进而得到答案；
（2）根据四边形内角和为360°可得∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，再有条件∠A=∠C=90°，可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据同角的补角相等可证出结论．

解答：证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ADB=∠CDB，
即DB平分∠ADC；

（2）∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠EDC=∠ABC．

点评：此题主要考查了三角形内角和定理以及多边形的内角和，关键是掌握三角形内角和为180°，四边形内角和为360°．