Question

（11·珠海）（本题满分9分）已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；
点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、
BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S_△DAF、S_△BAE，求证：S_△DAF＞S_△BAE．

Answer 1

证明：（1）连结OD．                              ……………………1分

∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
又∵DE∥BC，
∴OD⊥BC．
∴＝．                                    ……………………2分
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA＝∠DEA．
∴∠BAD＝∠EAD，
∴△ABD∽△ADE．                              ……………………5分
（2）由（1）得＝，即AD²＝AB·AE              ……………………6分
设在△ABE中，AE边上的高为h，则：
∴S_△ABE＝h·AE，且h＜AB．
由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形
∴S_△DAF＝AD²．                                ……………………8分
∴S_△DAF＝S_△BAE
∴△DAF＞△BAE．                      

略