题目内容
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=
cm,AD=3cm,DC=
cm,∠B=45°,点P是下底BC边上的一个动点,从B向C以2cm/s的速度运动,到达点C时停止运动,设运动的时间为t(s).
(1)求BC的长;
(2)当t为何值时,四边形APCD是等腰梯形;
(3)当t为何值时,以A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形.
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(1)求BC的长;
(2)当t为何值时,四边形APCD是等腰梯形;
(3)当t为何值时,以A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形.
分析:(1)过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,推出四边形AEFD是矩形,得出AD=EF=3cm,AE=DF,在Rt△AEB中,根据AB=
cm,cos45°=
,sin45°=
,求出BE=2cm,AE=2cm=DF,由勾股定理求出CF,即可求出BC;
(2)求出PF=CE=1cm,求出PC,求出BP,即可求出答案;
(3)分为三种情况:①BP=AB=
cm,②AB=AP,③AP=BP,画出图形,结合图形和根据等腰三角形性质和狗狗抵抗力即可求出答案.
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BE | ||
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AE | ||
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(2)求出PF=CE=1cm,求出PC,求出BP,即可求出答案;
(3)分为三种情况:①BP=AB=
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解答:解:(1)
过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,
则AE∥DF,∠AEB=∠DFC=∠AEF=90°,
∵AD∥BC,
∴四边形AEFD是矩形,
∴AD=EF=3cm,AE=DF,
∵在Rt△AEB中,∠B=45°,AB=
cm,cos45°=
,sin45°=
,
∴BE=2cm,AE=2cm=DF,
∵在Rt△DFC中,DC=
cm,DF=2cm,由勾股定理得:CF=
=1(cm),
∴BC=BE+EF+CF=2cm+3cm+1cm=6cm;
(2)如图2,
∵四边形APCD是等腰梯形,AD=3cm,由(1)知CF=1,
∴PE=CF=1cm,
∴PC=1cm+3cm+1cm=5cm,
∴BP=6cm-5cm=1cm,
即t=1÷2=0.5(s),
即t=0.5s时,四边形APCD是平行四边形;
(3)分为三种情况:
①BP=AB=
cm时,时间t=
÷2=
(s);
②AB=AP时,
∵∠B=45°,
∴∠APB=∠B=45°,
∴∠BAP=90°,
由勾股定理得:BP=
=4(cm),
时间t=4÷2=2(s);
③AP=BP时,
∵AP=BP,
∴∠B=∠BAP=45°,
∴∠APB=90°,
由勾股定理得:AP=BP=
=2(cm),
时间t=2÷2=1(s),
即当时间t为
s或2s或1s时,以A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形.
过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,
则AE∥DF,∠AEB=∠DFC=∠AEF=90°,
∵AD∥BC,
∴四边形AEFD是矩形,
∴AD=EF=3cm,AE=DF,
∵在Rt△AEB中,∠B=45°,AB=
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BE | ||
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AE | ||
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∴BE=2cm,AE=2cm=DF,
∵在Rt△DFC中,DC=
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∴BC=BE+EF+CF=2cm+3cm+1cm=6cm;
(2)如图2,
∵四边形APCD是等腰梯形,AD=3cm,由(1)知CF=1,
∴PE=CF=1cm,
∴PC=1cm+3cm+1cm=5cm,
∴BP=6cm-5cm=1cm,
即t=1÷2=0.5(s),
即t=0.5s时,四边形APCD是平行四边形;
(3)分为三种情况:
①BP=AB=
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②AB=AP时,
∵∠B=45°,
∴∠APB=∠B=45°,
∴∠BAP=90°,
由勾股定理得:BP=
(
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时间t=4÷2=2(s);
③AP=BP时,
∵AP=BP,
∴∠B=∠BAP=45°,
∴∠APB=90°,
由勾股定理得:AP=BP=
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时间t=2÷2=1(s),
即当时间t为
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点评:题考查了等腰梯形性质,全等三角形的性质和判定,解直角三角形,矩形的性质和判定等知识点的综合应用,题目综合性比较强,用了分类讨论思想.
练习册系列答案
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A、3cm | B、7cm | C、3cm或7cm | D、2cm |