Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，过点C作CE⊥BD交BD于G，交BA延长线于点E，交AD于F，且EF=FD．
（1）求证：BC=FC；
（2）若AF=1，tan∠BCE=

3

4

，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）连接BF，利用“角角边”证明△AFE和△GFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=GF，再利用“HL”证明Rt△AFB和Rt△GFB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFB=∠GFB，根据梯形的对边AD∥BC，利用两直线平行，内错角相等求出∠AFB=∠CBF，再根据等角对等边即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠AFE=∠BCE，然后解直角三角形求出AE、EF的长，从而可以求出AD的长，再设BC=x，解直角三角形表示出BE、CE，再根据CE=EF+CF列出方程求解得到BC的值，再求出AB的值，然后根据梯形的面积公式列式进行计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，连接BF，
∵CE⊥BD，
∴∠DGF=90°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAF=90°，
∴∠DGF=∠EAF=90°，
在△AFE和△GFD中，
∵

∠DGF=∠EAF=90° ∠EFA=∠DFG(对顶角相等) EF=FD

，
∴△AFE≌△GFD（AAS），
∴AF=GF，
在Rt△AFB和Rt△GFB中，
∵

BF=BF AF=GF

，
∴Rt△AFB≌Rt△GFB（HL），
∴∠AFB=∠GFB，
又∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∴BC=FC；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠BCE，
∵AF=1，tan∠BCE=

3

4

，
∴AE=AF•tan∠AFE=1×

3

4

=

3

4

，
根据勾股定理，EF=

AE2+AF2

=

( 3 4 )2+12

=

5

4

，
∴AD=AF+FD=1+

5

4

=

9

4

，
设BC=x，∵tan∠BCE=

3

4

，
∴BE=BC•tan∠BCE=

3

4

x，
CE=

5

4

x，
由（1）可知FC=BC=x，
∴

5

4

x=

5

4

+x，
解得x=5，
∴AB=BE-AE=

3

4

×5-

3

4

=3，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×（

9

4

+5）×3=

87

8

．

点评：本题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，（2）利用解直角三角形表示出三角形的边的长，然后列出方程求出BC的长是解题的关键，也是本题的难点．