题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D从点A出发,在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动,连结CD,作点A关于直线CD的对称点E,设点D运动时间为t(s).
(1)若△BDE是以BE为底的等腰三角形,求t的值;
(2)若△BDE为直角三角形,求t的值;
(3)当S△BCE≤时,求所有满足条件的t的取值范围(所有数据请保留准确值,参考数据:tan15°=2﹣
).
【答案】(1);(2) t的值为
秒或3秒;(3) t的取值范围是6﹣3
≤t≤3.
【解析】
(1)如图1,先由勾股定理求得AB的长,根据点A、E关于直线CD的对称,得CD垂直平分AE,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE,所以AD=DE=BD,由AB=3,可得t的值;
(2)分两种情况:
①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,根据AB=3t=3,可得t的值;
②当∠EDB=90°时,如图3,根据△AGC≌△EGD,得AC=DE,由AC∥ED,得四边形CAED是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3;
(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,
①当△BCE在BC的下方时,
②当△BCE在BC的上方时,
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.
解:(1)如图1,连接AE,
由题意得:AD=t,
∵∠CAB=90°,∠CBA=30°,
∴BC=2AC=6,
∴AB==3
,
∵点A、E关于直线CD的对称,
∴CD垂直平分AE,
∴AD=DE,
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形,
∴DE=BD,
∴AD=BD,
∴t=AD=;
(2)△BDE为直角三角形时,分两种情况:
①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,
∵CD垂直平分AE,
∴AD=DE=t,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=2t,
∴AB=3t=3,
∴t=;
②当∠EDB=90°时,如图3,
连接CE,
∵CD垂直平分AE,
∴CE=CA=3,
∵∠CAD=∠EDB=90°,
∴AC∥ED,
∴∠CAG=∠GED,
∵AG=EG,∠CGA=∠EGD,
∴△AGC≌△EGD,
∴AC=DE,
∵AC∥ED,
∴四边形CAED是平行四边形,
∴AD=CE=3,即t=3;
综上所述,△BDE为直角三角形时,t的值为秒或3秒;
(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,
①当△BCE在BC的下方时,过B作BH⊥CE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时,
此时S△BCE=AEBH=
×3×3=
,
易得△ACG≌△HBG,
∴CG=BG,
∴∠ABC=∠BCG=30°,
∴∠ACE=60°﹣30°=30°,
∵AC=CE,AD=DE,DC=DC,
∴△ACD≌△ECD,
∴∠ACD=∠DCE=15°,
tan∠ACD=tan15°==2﹣
,
∴t=6﹣3,
由图形可知:0<t<6﹣3时,△BCE的BH越来越小,则面积越来越小,
②当△BCE在BC的上方时,如图3,CE=ED=3,且CE⊥ED,
此时S△BCE=CEDE=
×3×3=
,此时t=3,
综上所述,当S△BCE≤时,t的取值范围是6﹣3
≤t≤3.
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【题目】在方格中的位置如图所示.
(1)请在方格纸上(小方格的边长为1)建立平面直角坐标系,使得A、B两点的坐标分别为,
.并求出C点的坐标;
(2)作出关于x轴对称的
,并写出
、
两点的坐标.
(3)求的面积。
【题目】阅读对学生的成长有着深远的影响,某中学为了解学生每周课余阅读的时间,在本校随机抽取了若干名学生进行调查,并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表.
组别 | 时间(小时) | 频数(人数) | 频率 |
A | 0≤t≤0.5 | 6 | 0.15 |
B | 0.5≤t≤1 | a | 0.3 |
C | 1≤t≤1.5 | 10 | 0.25 |
D | 1.5≤t≤2 | 8 | b |
E | 2≤t≤2.5 | 4 | 0.1 |
合计 | 1 |
请根据图表中的信息,解答下列问题:
(1)表中的a= ,b= ,中位数落在 组,将频数分布直方图补全;
(2)估计该校2000名学生中,每周课余阅读时间不足0.5小时的学生大约有多少名?
(3)E组的4人中,有1名男生和3名女生,该校计划在E组学生中随机选出两人向全校同学作读书心得报告,请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率.