题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D从点A出发,在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动,连结CD,作点A关于直线CD的对称点E,设点D运动时间为t(s).

(1)若△BDE是以BE为底的等腰三角形,求t的值;

(2)若△BDE为直角三角形,求t的值;

(3)当S△BCE时,求所有满足条件的t的取值范围(所有数据请保留准确值,参考数据:tan15°=2﹣).

【答案】(1);(2) t的值为秒或3秒;(3) t的取值范围是6﹣3t3.

【解析】

(1)如图1,先由勾股定理求得AB的长,根据点A、E关于直线CD的对称,得CD垂直平分AE,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE,所以AD=DE=BD,由AB=3,可得t的值;

(2)分两种情况:

①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,根据AB=3t=3,可得t的值;

②当∠EDB=90°时,如图3,根据AGC≌△EGD,得AC=DE,由ACED,得四边形CAED是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3;

(3)BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以BCE面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,

①当BCEBC的下方时,

②当BCEBC的上方时,

分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.

解:(1)如图1,连接AE,

由题意得:AD=t,

∵∠CAB=90°,CBA=30°,

BC=2AC=6,

AB==3

∵点A、E关于直线CD的对称,

CD垂直平分AE,

AD=DE,

∵△BDE是以BE为底的等腰三角形,

DE=BD,

AD=BD,

t=AD=

(2)BDE为直角三角形时,分两种情况:

①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,

CD垂直平分AE,

AD=DE=t,

∵∠B=30°,

BD=2DE=2t,

AB=3t=3

t=

②当∠EDB=90°时,如图3,

连接CE,

CD垂直平分AE,

CE=CA=3,

∵∠CAD=EDB=90°,

ACED,

∴∠CAG=GED,

AG=EG,CGA=EGD,

∴△AGC≌△EGD,

AC=DE,

ACED,

∴四边形CAED是平行四边形,

AD=CE=3,即t=3;

综上所述,BDE为直角三角形时,t的值为秒或3秒;

(3)BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以BCE面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,

①当BCEBC的下方时,过BBHCE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时,

此时SBCE=AEBH=×3×3=

易得ACG≌△HBG,

CG=BG,

∴∠ABC=BCG=30°,

∴∠ACE=60°﹣30°=30°,

AC=CE,AD=DE,DC=DC,

∴△ACD≌△ECD

∴∠ACD=DCE=15°,

tanACD=tan15°==2﹣

t=6﹣3

由图形可知:0<t<6﹣3时,BCEBH越来越小,则面积越来越小,

②当BCEBC的上方时,如图3,CE=ED=3,且CEED,

此时SBCE=CEDE=×3×3=,此时t=3,

综上所述,当SBCE时,t的取值范围是6﹣3≤t≤3.

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