题目内容
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=Rt∠，∠B=45°小宇用一块三角板EGF，使直角边EG与CD重合，点G与点C重合，直角边EG沿着CB从点C往点B平移，当点G运动到点B时，平移就结束．设CG的长度为xcm，梯形ABCD被直角边EG扫过的面积为ycm2，y与x的图象如图2所示，其中OP是线段，曲线PQ是抛物线的一部分，抛物线的顶点是Q（7，| 33 | 2 |
（1）直接写出BC、AD、CD的长度；
（2）求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的范围；
（3）探究：三角板直角边EG在运动过程中，是否存在这样的点G，使得以A、D、G为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，求出x的值，如果不存在，请说明理由．
分析：（1）当运动到点A时，面积开始不是均匀变化，那么AD=CG=4，根据面积为12可得CD为3，等于7时结束，那么BC=7；
（2）当x≤4时，可设函数解析式为y=kx，把（4，12）代入即可求解，当4＜x≤7时，利用顶点式即可求得相应函数解析式；
（3）A、D、G为顶点的三角形为等腰三角形时应分情况进行探讨．当AD=DG时，有1种情况，当AG=AD时，有2种情况，当AG=DG时，有一种情况．
（2）当x≤4时，可设函数解析式为y=kx，把（4，12）代入即可求解，当4＜x≤7时，利用顶点式即可求得相应函数解析式；
（3）A、D、G为顶点的三角形为等腰三角形时应分情况进行探讨．当AD=DG时，有1种情况，当AG=AD时，有2种情况，当AG=DG时，有一种情况．
解答：
解：（1）易得四边形AG′CD为矩形，
∴AD=G′C=4，
∴CD=12÷4=3，
当x=7时，运动结束，
∴BC=x=7；
（2）当0≤x≤4时，
设函数解析式为y=kx，
∴4k=12，
k=3，
∴y=3x，
当4＜x≤7时，
设函数解析式为y=a（x-7）2+
，
∴12=9a+
，
解得a=-
，
∴y=-
（x-7）2+
，
∴
；
（3）AD=AG时，
GG′=
=
，
所以x=4+
，或者x=4-
．
同理可得AD=DG，点D为两腰的交点时，
x=GG′=
；
当AG=DG时，
x=
AD=2．
解：（1）易得四边形AG′CD为矩形，∴AD=G′C=4，
∴CD=12÷4=3，
当x=7时，运动结束，
∴BC=x=7；
（2）当0≤x≤4时，
设函数解析式为y=kx，
∴4k=12，
k=3，
∴y=3x，
当4＜x≤7时，
设函数解析式为y=a（x-7）2+
| 33 |
| 2 |
∴12=9a+
| 33 |
| 2 |
解得a=-
| 1 |
| 2 |
∴y=-
| 1 |
| 2 |
| 33 |
| 2 |
∴
|
（3）AD=AG时，
GG′=
| 42-32 |
| 7 |
所以x=4+
| 7 |
| 7 |
同理可得AD=DG，点D为两腰的交点时，
x=GG′=
| 7 |
当AG=DG时，
x=
| 1 |
| 2 |
点评：抛物线上有顶点坐标，所求的抛物线解析式应设为顶点式求解比较简便；三角形为等腰三角形，应分不同顶点为两腰的交点进行分类讨论．
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