Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：

，

解该方程组得：a=﹣1，b=2，c=3，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

（2）解：由题意得：OA=3，OB=3；

由勾股定理得：AB2=32+32，

∴AB=3 ．

当△ABM为等腰三角形时，

①若AB为底，

∵OA=OB，

∴此时点O即为所求的点M，

故点M的坐标为M（0，0）；

②若AB为腰，

以点B为圆心，以3 长为半径画弧，交y轴于两点，

此时两点坐标为M（0，3﹣3 ）或M（0，3+3 ），

以点A为圆心，以3 长为半径画弧，交y轴于点（0，﹣3）；

综上所述，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标分别为

（0，0）、（0，3﹣3 ）、（0，3 +3）、（0，﹣3）．

【解析】（1）直接根据题意列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题．（2）运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决问题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用抛物线与坐标轴的交点的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．