题目内容
【题目】综合与实践：
问题情境：
在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动.变换条件如下：如图 1，直线 AB，AC，BC 两两相交于 A，B，C 三点，得知△ABC是等边三角形，点 E 是直线 AC 上一动点（点 E 不与点 A，C 重合），点 F 在直线 BC上，连接 BE，EF，使 EF=BE．
独立思考：
（1）张老师首先提出了这样一个问题：如图 1，当E是线段 AC 的中点时，确定线段 AE与 CF 的数量关系，请你直接写出结论：AE____ CF（填“＞” “＜”或“=”）.
提出问题：
（2）“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段 AC 上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图 2，过点 E作 ED∥BC，交 AB 于点 D. （请你补充完整证明过程）
拓展延伸：
（3）“缜密”小组提出的问题是：动点E的运动位置如图3，图4所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段AE与CF的数量关系是否发生变化？ 请你选择其中一种予以证明.
（4）“爱心”小组提出的问题是：若等边△ABC 的边长为
，AE=1，则BF 的长为__________.（请你直接写出结果）．
【答案】（1）＝；（2）见解析；（3）没有发生变化；证明见解析；（4）
或
【解析】
（1）根据等边三角形性质和三线合一得到AE=CE，∠EBC=30°，∠ECB=60°，根据等边对等角可知∠EFC=∠EBC=30°，根据三角形外角性质得到∠ECB=∠EFC+∠FEC，进而求出∠FEC，根据等角对等边得到CE=CF，再利用等量代换即可解决问题.
（2）根据等边三角形的性质和平行线的性质得到△ADE是等边三角形，进而可知BD=CE，根据等边对等角可知∠EFC=∠EBC，根据三角形外角性质得到∠EFC+∠CEF=60°，结合∠DBE+∠EBC=60°，进而证得∠DBE=∠CEF，利用SAS证得△DBE≌△CEF，利用全等三角形的性质得到CF=DE，即可得证；
（3）作出图3，过点E作ED∥AB，交BF于点D，同（2）中方法证明△BED≌△FEC，即可得证；作出图4，过点E作ED∥BC，交BA于点D，同（2）中方法证明△BED≌△EFC，即可得证；
（4）根据前面的证明可知，当点E在AC延长线上时，BF=BC+CF；当点E在AC上时，BF=BC+CF；当点E在CA延长线上时，BF=BC-CF；再结合CF=AE即可求得BF.
（1）AE=CF
证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AC中点
∴AE=CE，∠EBC=30°，∠ECB=60°
∵EF=BE
∴∠EFC=∠EBC=30°
∵∠ECB=∠EFC+∠FEC
∴∠FEC=30°
∴CE=CF
∴AE=CF
故答案为：＝
（2）
该结论论仍然成立，理由如下：如图 2，过点 E作 ED∥BC，交 AB 于点 D.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC
∵ED∥BC，
∴∠ADE=∠AED=60°
∴△ADE是等边三角形
∴AD=AE=DE
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE
∵BE=EF
∴∠EBC=∠EFC
∵∠DBE+∠EBC=60°
∠EFC+∠CEF=60°
∴∠DBE=∠CEF
∴△DBE≌△CEF（SAS）
∴CF=DE
∴CF=AE
（3）如图3所示
线段AE与CF的数量关系没有发生变化，
证明：过点E作ED∥AB，交BF于点D
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC
∵ED∥AB，
∴∠AED=∠BAC=60°，∠CDE=∠ABC=60°
∴△ADE是等边三角形
∴CD=DE=CE
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE
∵BE=EF
∴∠EBC=∠DFE
∵∠CBE+∠CEB=∠ACB=60°
∠DEF+∠DFE=∠CDE=60°
∴∠BEC=∠DEF
∴∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED
即∠BED=∠CEF
∴△BED≌△FEC（SAS）
∴BD=CF
∵BD=BC+CD=AC+CE=AE
∴CF=AE
如图4所示，
线段AE与CF的数量关系没有发生变化，
证明：过点E作ED∥BC，交BA于点D
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ACB=60°，∠EDA=∠ABC=60°
∴△ADE是等边三角形
∴AE=ED=AD
∴AB+AD=AC+AE，即BD=CE
∵BE=EF
∴∠EBC=∠EFB
∵∠EBA+∠ABC=∠EBC
∠FEC+∠ACB=∠EFB
∴∠EBA=∠FEC
∴△BED≌△EFC（SAS）
∴ED=FC
∴CF=AE
（4）当点E在AC延长线上时，
∵BF=BC+CF，CF=AE
∴BF=BC+AE=
当点E在AC上时，
∵BF=BC+CF，CF=AE
∴BF=BC+AE=
当点E在CA延长线上时，
∵BF=BC-CF，CF=AE
∴BF=BC-AE=
综上所述，BF=或
故答案为：或
