题目内容
【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，∠MPN的度数是 ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝8，请直接写出△PMN面积的取值范围．
【答案】（1）PM＝PN，60°；（2）详见解析；（3）
≤S△PMN≤9．
【解析】
（1）利用三角形的中位线得出PM=
CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同（1）的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时,△PMN的面积最大,而BD最大是AB+AD=12,再判断出BD最小时,△PMN最小,即可得出结论．
解：（1）∵点P,N是BC,CD的中点,
∴PN∥BD,PN＝BD,
∵点P,M是CD,DE的中点,
∴PM∥CE,PM＝CE,
∵AB＝AC,AD＝AE,
∴BD＝CE,
∴PM＝PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN＝∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM＝∠DCA,
∵∠BAC＝120°,
∴∠ADC+∠ACD＝60°,
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝60°,
故答案为：PM＝PN,60°；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知,∠BAD＝∠CAE,
∵AB＝AC,AD＝AE,
∴△ABD≌△ACE（SAS）,
∴∠ABD＝∠ACE,BD＝CE,
利用三角形的中位线得,PN＝BD,PM＝CE,
∴PM＝PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同（1）的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM＝∠DCE,
同（1）的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC＝∠DBC,
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC＝120°,
∴∠ACB+∠ABC＝60°,
∴∠MPN＝60°,
∴△PMN是等边三角形；
（3）由（2）知,△PMN是等边三角形,PM＝PN＝BD,
∴PM最大时,△PMN面积最大,PM最小时,△PMN面积最小
∴点D在BA的延长线上,△PMN的面积最大,
∴BD＝AB+AD＝12,
∴PM＝6,
∴S△PMN最大＝
PM2＝×62＝9,
当点D在线段AB上时,△PMN的面积最小,
∴BD＝AB﹣AD＝4,
∴PM＝2,
S△PMN最小＝PM2＝×22＝,
∴≤S△PMN≤9．
