题目内容
如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,点E、F分别是腰AD、BC上的动点,点G在AB上,且四边形AEFG是矩形.设FG=x,矩形AEFG的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在腰BC上求一点F,使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍,并求出此时BF的长;
(3)当∠ABC=60°时,矩形AEFG能否为正方形?若能,求出其边长;若不能,请说明理由.
(1)求y与x之间的函数关式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在腰BC上求一点F,使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍,并求出此时BF的长;
(3)当∠ABC=60°时,矩形AEFG能否为正方形?若能,求出其边长;若不能,请说明理由.
(1)过C作CH⊥AB于H.
在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,
∴四边形ADCH为矩形.
∴CH=AD=2,BH=AB-CD=3a-2a=a.
在Rt△BCH中,tanB=
=
.
∵四边形AEFG是矩形,∴∠FGA=90°=∠FGB,且FG=x.
∴在Rt△FGB中,tanB=
=
.
∴
=
,即BG=
x,∴AG=3a-0.5ax.
∵S矩形AEFG=FG×AG,
∴y=x(3a-
x)=-
x2+3ax(0<x≤2).…(4分)
(2)∵S梯形ABCD=
(AB+CD)×AD=
(3a+2a)×2=5a,
令2(-
x2+3ax)=5a,解得x1=1,x2=5.
∵0<x≤2,∴x=5(舍去).
∴x=1,此时F为BC中点.
∴BF=
BC=
=
.…(3分)
(3)矩形AEFG不能成为正方形.
假设矩形AEFG能成为正方形,则有FG=AG.
∴x=3a-
x.
∵∠ABC=60°,则tanB=
=
,∴a=
.
∴x=
=3
-3>2.
又∵0<x≤2,∴矩形BEFG不能成为正方形.…(3分)
在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,
∴四边形ADCH为矩形.
∴CH=AD=2,BH=AB-CD=3a-2a=a.
在Rt△BCH中,tanB=
CH |
BH |
2 |
a |
∵四边形AEFG是矩形,∴∠FGA=90°=∠FGB,且FG=x.
∴在Rt△FGB中,tanB=
FG |
BG |
x |
BG |
∴
2 |
a |
x |
BG |
a |
2 |
∵S矩形AEFG=FG×AG,
∴y=x(3a-
a |
2 |
a |
2 |
(2)∵S梯形ABCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
令2(-
a |
2 |
∵0<x≤2,∴x=5(舍去).
∴x=1,此时F为BC中点.
∴BF=
1 |
2 |
1 |
2 |
CH2+BH2 |
1 |
2 |
4+a2 |
(3)矩形AEFG不能成为正方形.
假设矩形AEFG能成为正方形,则有FG=AG.
∴x=3a-
a |
2 |
∵∠ABC=60°,则tanB=
2 |
a |
3 |
2 |
3 |
3 |
∴x=
3a | ||
1+
|
3 |
又∵0<x≤2,∴矩形BEFG不能成为正方形.…(3分)
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