题目内容
【题目】如图，
为菱形
对角线的交点，
是射线
上的一个动点（点与点
，，
都不重合），过点，分别向直线
作垂线段，垂足分别为
，
，连接
，
．
（1）①当点在线段上时，在图1中依据题意补全图形：
②猜想与的数量关系为 ．
（2）小东通过观察、实验发现点在线段的延长线上运动时，（1）中的猜想始终成立．
小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明此猜想的几种想法：
想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与
全等的三角形，从而得到相等的钱段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；
想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组
和
，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四条边相等，可以构造一对以和
为对应边的全等三角形，即可证明猜想．
…
请你参考上面的想法，在图2中帮助小东完成画图，并证明此猜想（一种方法即可）．
（3）当
时，请直接写出线段
，
，
之间的数量关系是 ．
【答案】（1）①见解析，②OE=OF；（2）见解析；（3）EF=CF+AE．
【解析】
（1）①由题意直接补全图形即可；②取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，由菱形的性质得出AB=BC，AC⊥BD，由P，Q是AB，BC的中点，得出OP=PB=
AB，OQ=QB=BC，则OP=OQ，同理，PE=QF，证得∠OPE=2∠OBE，∠OQF=2∠OCF，再证得∠OBE=∠OCF，得出∠OPE=∠OQF，由SAS证得△OPE≌△OQF，即可得出结论；
（2）想法1、先判断出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性质即可得出结论；
（3）先判断出四边形OPBQ是菱形，再判断出∠EOF=∠POQ=90°，再借助等腰直角三角形的性质即可得出结论．
解：（1）①补全的图形如图1所示：
②OE=OF；理由如下：
取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，
如图1-1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，
∵P，Q是AB，BC的中点，
∴OP=PB=AB，OQ=QB=BC，
∴OP=OQ，
同理，PE=QF，
∵OP=PB，PE=PB，
∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA，
∴∠OPA-∠EPA=2∠OBA-2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE，
同理，∠OQF=2∠OCF，
∵AC⊥BD，CF⊥BM，
∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．
∴∠OBE=∠OCF，
∴∠OPE=∠OQF，
在△OPE和△OQF中，
，
∴△OPE≌△OQF（SAS），
∴OE=OF；
故答案为：OE=OF；
（2）想法1：
证明：延长EO交FC的延长线于点N，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，
∵AE⊥BM，CF⊥BM，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠CNO，
在△AOE和△CON中，
，
∴△AOE≌△CON（ASA），
∴OE=ON=EN，
∵Rt△EFN中，O是斜边EN的中点，
∴OF=EN，
∴OE=OF；
（3）如图3所示：
由（2）想法1，得出△AOE≌△CON，
∴AE=CN，OE=ON，
由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，
∵四边形ABCD是菱形，
由（2）知，OP=BP=OQ=BQ．
∴四边形OPBQ是菱形，
∴∠POQ=90°
由（2）想法2，得出△OPE≌△OQF，
∴∠POE=∠QOF，
∴∠EOF=∠POQ=90°，
∴∠FEN=45°，
在Rt△EFN中，∠FEN=45°，
∴EF=FN=CF+CN=CF+AE．
故答案为：EF=CF+AE．
