题目内容
【题目】如图甲，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A(﹣1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和直线BC的表达式．
(2)如图乙，点P为在第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D．
①在点P运动过程中，四边形ACPB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
②是否存在点P使得以点O，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y＝
x2﹣x﹣1；y＝x﹣1；(2)①当x＝1时，S最大值为2；②点P坐标为(
，
)或(1，﹣1)或(
，﹣
)．
【解析】
(1)设：二次函数的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣2)＝ax2﹣ax﹣2a，即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，即可求解；
(2)①S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB，即可求解；②分CD＝OC、CD＝OD、OC＝OD三种情况分别求解即可．
解：(1)二次函数的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣2)＝ax2﹣ax﹣2a，
即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1，点C(0，﹣1)，
则直线BC的表达式为：y＝kx﹣1，
将点B的坐标代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；
(2)①设点P(x， x2﹣x﹣1)，则点D(x， x﹣1)，
S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB
＝×3×1+×2(x﹣1﹣x2+x+1)＝﹣x2+x+
，
∵﹣<0，
故S有最大值，当x＝1时，S最大值为2；
②设点D坐标为(m， m﹣1)，
则CD2＝m2+
m2，OC2＝1，DO2＝m2+(m﹣1)2＝
m2﹣m+1，
当CD＝OC时，m2+m2＝1，解得：m＝，
同理可得：
当CD＝OD时，m＝1，
当OC＝OD时，m＝，
则点P坐标为(，
)或(1，﹣1)或(，﹣)．
