题目内容

【题目】如图,点O为线段AD上一点,CO⊥AD于点O,OA=OB,OC=OD,点M、N分别是AC、BD的中点,连接OM、ON、MN.

(1)求证:AC=BD;

(2)试判断△MON的形状,并说明理由;

(3)若AC=2,在图2中,点M在DB的延长线上,求△AMD的面积

【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形(3)

【解析】

1)根据已知条件可以得出△AOC≌△BOD就可以得出AC=BD

2)由直角三角形的性质就可以得出MO=NO=AC=BD,从而得出∠A=AOM,∠NBO=NOB,又因为AOC≌△BOD所以∠A=OBD从而得出∠NOB=MOA,就可以得出∠NOM=90°,得出△MON的形状。

3)根据AC=2得出MO= NO=1AM=DN=1,根据勾股定理可得MN=,所以DM=+1

由△AOC≌△BOD得出∠C=D,由∠C+A=90可得∠D+A=90,所以∠AMD=90,根据三角形的面积公式即可解答。

证明:∵COAD

=90

在△AOC和△BOD中,


∴△AOC≌△BODSAS),
AC=BD

(2) MN分别是ACBD的中点,∠AOC=BOD=90°,
MO=MA=ACNO=NB=BD

AC=BD

MO=MA= NO=NB
∴∠A=AOM,∠NBO=NOB
∵△AOC≌△BOD

∴∠A=OBN

∴∠AOM=BON
∵∠AOM+COM=90°,
∴∠BON+COM=90°,
∴∠MON=90°.

∴△MON是等腰直角三角形.

3)∵AC=2

由(2)可得MO= NO=1AM=DN=1

根据勾股定理可得MN=

DM=+1

∵△AOC≌△BOD

∴∠C=D

=90

∴∠C+A=90

∴∠D+A=90 ∴∠AMD=90

MA.DM=+1)=

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