Question

（2011广西梧州，25，10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠0AC+∠CAD=90°．

∴∠OAD=90°．

∴AD是⊙O的切线．
（1）      连接BG；
∵OC=6cm，EC=8cm，

∴AE=OE+OA=1．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．

∴AF=9.6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°．
∴∠AGB=∠AFE．
∵∠BAG=∠EAF，
∴Rt△ABG ∽Rt△AEF．

∴AG=7.2．
∴GF="AF-AG=9.6-7.2=2.4(cm)" ．

略