Question

(8分)如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交
半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．
(1)求∠AOD的度数；
(2)求证：PD是半圆O的切线．

Answer 1

（1）解：∵点C时OA的中点，∴OC=OA=OD
∵CD⊥OA，∴∠OCD=90°。
在Rt△OCD中，cos∠COD=
∴∠COD=60°，即∠AOD=60°。
（2）证明：连结OE，∵点E是的中点，

∴，
∴∠BOE=∠DOE=∠DOB=（180°-∠COD）=（180°-60°）=60°。
∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60°
∴∠EAO=30°，
∴PD∥AE，
∴∠P=∠EAO=30°。
由（1）知∠AOD=60°，∴∠PDO=180°-（∠P+∠POD）=180°-（30°+60°）=90°，
∴PD是半圆O的切线。

略