Question

如图，抛物线y=ax²+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM=t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；
②求S与t的函数关系式；
（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．

Answer 1

（1）y=-x²+x+2；（2）2，S=t²；（3），．

解析试题分析：（1）应用待定系数法即可求得解析式．
（2）①根据平行线的性质及轴对称的性质求得∠AO′M=∠O′AM，从而求得OM=AM=，进而求得t的值；②根据平行线分线段成比例定理求得ON=，即可求得三角形的面积S=t²；
（3）根据直线BC的斜率即可求得直线OO′的解析式y=2x，设O′（m，2m），根据O′N=t先求得m与t的关系式，然后根据O′C=OB即可求得．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax²+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（-1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式：y=-x²+x+2；
（2）①如图1，

∵MN∥AC，
∴∠OMN=∠O′AM，∠O′MN=AO′M
∵∠OMN=∠O′MN，
∴∠AO′M=∠O′AM，
∴O′M=AM，
∵OM=O′M，
∴OM=AM=t，
∴t=；
②由抛物线的解析式：y=-x²+x+2可知C（0，2）
∵A（4，0）、C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵MN∥AC，
∴ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，
∴ON=OM=t，
∴S=．
（3）如图2，

∵B（-1，0），C（0，2），
∴直线BC的斜率为2，
∵OO′∥BC，
∴直线OO′的解析式为y=2x，
设O′（m，2m），
∵O′N=ON=t，
∴O′N2=m2+（2m-t）²=（）²，
∴t=m，
∴O′C2=m2+（2-2m）2，
∵OB=O′C，
∴m2+（2-2m）2=（-1）2，
解得m1=1，m2=，
∴O′（1，2）或（，），
∵C（0，2），
∴当O′（1，2）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是平行四边形，此时t=，
当O′（，）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是梯形，此时t=．
考点：二次函数综合题．