Question

如图，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点．
（1）直接写出直线的解析式；
（2）当时，设，的面积为，求S关于t的函数关系式；并求出S的最大值；
（3）当点Q在线段AB上（Q与A、B不重合）时，直线过点A且与x轴平行，问在上是否存在点C，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） ；
（2），当时，S有最大值；
（3）在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．

解析试题分析：（1）已知直线L过A，B两点，可将两点的坐标代入直线的解析式中，用待定系数法求出直线L的解析式；
（2）求三角形OPQ的面积，就需知道底边OP和高QM的长，已知了OP为t，关键是求出QM的长．已知了QM垂直平分OP，那么OM=，，再求即可；
（3）如果存在这样的点C，那么CQ=QP=OQ，因此C，O就关于直线BL对称，因此C的坐标应该是（1，1）．那么只需证明CQ⊥PQ即可．分情况进行讨论．
试题解析：（1） ；
（2）∵，∴Q点的横坐标为，
当，即时，，
∴．
当时，，
∴当时，S有最大值；
（3）∵，∴是等腰直角三角形，
若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，
∴，∵、轴，∴
O、C关于直线对称∴，得．
连接，则四边形是正方形．
（i）当点在线段上，如图–1．

由对称性，得
，
∴，
∴．
即
（ii）当点在线段的延长线上，如图–2，

∵∴由对称性可知
∴，
∴．
综合（i）（ii），．
∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．
考点：二次函数综合题．