题目内容
如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
(1)抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；
(2)能, 点P的坐标是（
，﹣
），（
，﹣）
解析试题分析：
（1）利用根与系数的关系，等式x12+x22+x1x2=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式．
（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．
试题解析：
解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，
∵x1+x2+x1x2=7，
∴（x1+x2)2﹣x1x2=7，
∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，
即m2﹣m﹣6=0，
解得m1=﹣2，m2=3，
∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意
∴m=﹣2
抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）能
如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．
若∠POC=∠PCO
则PD应是线段OC的垂直平分线
∵C的坐标为（0，﹣3）
∴D的坐标为（0，﹣）
∴P的纵坐标应是﹣
令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=
因此所求点P的坐标是（，﹣），（，﹣）
考点：二次函数综合题．
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