Question

如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点．
（1）试求点A、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．

Answer 1

（1）A（﹣1，0）；C（0，﹣3）；
（2）抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣3；
（3）在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．

解析试题分析：（1）由直线解析式y=﹣3x﹣3，将y=0代入求出x的值，得到直线与x轴交点A的坐标，将x=0代入求出y的值，得到直线与y轴交点C的坐标；
（2）根据抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，且过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），可得到方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；
（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（x_P，﹣t），则可得x_P．再过点P作PD⊥x轴于点D，则D（﹣1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM²=MD²+PD²=（﹣+4）²+（﹣t）²=（25t²﹣96t+144），利用二次函数的性质可知当t=时，PM²最小值为，即在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．
试题解析：（1）∵y=﹣3x﹣3，
∴当y=0时，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，
∴A（﹣1，0）；
∵当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣3；
（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（x_P，﹣t）．
即-t=-3x_p-3
x_p=，
过点P作PD⊥x轴于点D，则D（，0），
∴MD=（3﹣t）﹣（）=﹣+4，
∴PM²=MD²+PD²=（﹣+4）²+（﹣t）²=（25t²﹣96t+144），
又∵﹣＜3，
∴当t=时，PM²最小值为，
故在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．

考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、待定系数法；3、勾股定理；4、二次函数的性质