题目内容
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两 点．
（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．
（2）若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．
（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．
（2）若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．
分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等；故M分别作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，易得MG=MH，而∠EMG、∠FMH都是∠GMF的余角，由此可证得∠EMG=∠FMH，即可证得△MGE≌△MHF，由此得证．
（2）如图2，此种情况与（1）类似，不同的是（1）题用到的是全等，而此题运用的是相似，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H，通过证△MGE∽△MHF，得到关于ME、MF、MG、MH的比例关系式，联立矩形的性质及BC、AB的比例关系，即可求得ME、MF的比例关系．
（2）如图2，此种情况与（1）类似，不同的是（1）题用到的是全等，而此题运用的是相似，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H，通过证△MGE∽△MHF，得到关于ME、MF、MG、MH的比例关系式，联立矩形的性质及BC、AB的比例关系，即可求得ME、MF的比例关系．
解答：
（1）解：ME=MF．理由如下：
如图1，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
，
∴△MGE≌△MHF（ASA）．
∴ME=MF．
（2）解：
=
．理由如下：
如图2，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2
∠MGE=∠MHF
∴△MGE∽△MHF．
∴
=
．
∵M为矩形对角线AB、AC的交点，
∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，
∴点G、H分别是BC、DC的中点．
∵BC=2AB=4，
∴MG=
AB，MH=
BC．
∴
=
．
（1）解：ME=MF．理由如下：如图1，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
|
∴△MGE≌△MHF（ASA）．
∴ME=MF．
（2）解：
| ME |
| MF |
| 1 |
| 2 |
如图2，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2
∠MGE=∠MHF
∴△MGE∽△MHF．
∴
| ME |
| MF |
| MG |
| MH |
∵M为矩形对角线AB、AC的交点，
∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，
∴点G、H分别是BC、DC的中点．
∵BC=2AB=4，
∴MG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| ME |
| MF |
| 1 |
| 2 |
点评：此题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用．难度较大．
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