Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°．
解答下列问题：
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF、BD之间的位置关系为

垂直

，数量关系为

相等

．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（要求写出证明过程）

Answer 1

分析：（1）由四边形ADEF是正方形与AB=AC，∠BAC=90°，易证得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性质，可证得CF=BD，继而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
（2）由四边形ADEF是正方形与AB=AC，∠BAC=90°，易证得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性质，可证得CF=BD，继而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

解答：解：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
故答案为：垂直，相等；

（2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
理由：∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD-∠DAC=∠CAF-∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．