Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90^o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．

（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

Answer 1

（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似；（2）；（3）y的最小值为19

试题分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长；
（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．
（1）∵CD∥AB
∴∠BAC=∠DCA 
又∵AC⊥BC，∠ACB=90^o 
∴∠D="∠ACB=" 90^o   
∴△ACD∽△BAC；
（2） 
∵△ACD∽△BAC
∴ ，即，解得：
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，

 
∴△ACB∽△EGB 
∴  即，解得 
 = =
故当t=时，y的最小值为19
点评：三角形相似是考察的重点，考生要学会分析三角形相似的基本性质，动点和图形的结合是常考点.