Question

如图，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝，过点D作DE垂直OA的延长线且交于点E．（1）求证：△OAB∽△EDA；

（2）当为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由；并求出此时B、D两点的距离．

Answer 1

（1）由已知条件可推出，∠OBA＝∠DAE，∠BOA＝∠DEA＝90^o，所以△OAB∽△EDA.
（2）当＝AD=AB=5时.

试题分析：（1）证明：∵OA⊥OB，∴∠BAO与∠OBA互余
又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90^o，
∴∠DAE与∠BAO互余，∴∠OBA＝∠DAE，
∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90^o
∴△OAB∽△EDA．
（2）解：在Rt△OAB中，AB＝，
由（1）可知∠OBA＝∠DAE，∠BOA＝∠DEA＝90^o，
∴当＝AD=AB=5时，△OAB与△EDA全等．
当＝AD=AB=5时，可知矩形ABCD为正方形
所以此时 BD＝
点评：该题主要考查学生对相似三角形和全等三角形判定的应用熟练程度，是几何中常考的知识点。