Question

【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．
【问题解决】如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：，．
∴．
∵a≠b，∴＞0．
∴M－N＞0．∴M＞N．
【类比应用】(1)已知：多项式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．
试比较M与N的大小．
(2)已知：如图2，锐角△ABC (其中BC为a ，AC为 b，
AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，现将△ABC 补成长方形，
使得△ABC的两个顶点为长方形的两个端点，第三个顶点落
在长方形的这一边的对边上。
 
①这样的长方形可以画     个；
②所画的长方形中哪个周长最小？为什么？
【拓展延伸】 已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上，G、H分别在边AC、AB上，同样还可画AC、AB边上的内接正方形，问哪条边上的内接正方形面积最大？为什么？

Answer 1

1）（2）①3
②以最短边为边所画的长方形周长最小．

试题分析：1）∵
∴
（2） ①3
②以最短边为边所画的长方形周长最小．
理由如下：设的面积为，三个长方形的周长分别为，，，易得三个长方形的面积相等，均为，，，，
则．
∵，∴，∴．
∵，∴，于是，∴，即．
同理．
所以．
拓展延伸：
边上的内接正方形面积最大．
理由：设边上的内接正方形边长为．
由∽，得，解得．
由上题得最小，且（定值）
∴此时为最大．
∴边上的内接正方形面积最大．
点评：本题难度较大，主要考查学生是否能够结合类比应用所给示例归纳规律解题。