题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,直线轴、轴分别交于点B、 A,点D、E分别是AO、AB的中点,连接DE,点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;与此同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为.

(1)分别写出点P和Q坐标(用含t的代数式表示);

(2)①当点Q在BE之间运动时,设五边形PQBOD的面积为(cm2),求y与t之间的函数关系式;

②在①的情况下,是否存在某一时刻t,使PQ分四边形BODE两部分的面积之比为S△PQE:S五边形PQBOD=1:29?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;

(3)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,当t为何值时,⊙P能与△ABO的一边相切?

【答案】(1)P(t,3),Q(8-t, t);

(2)① ②t=2,理由见解析

(3)当t= 时,⊙P可与△ABC的一边相切.

【解析】试题分析:(1)利用直线的解析式首先求得直线与两坐标轴的交点坐标,然后利用三角形的中位线定理求得点P的纵坐标和点P的横坐标即可;(2)①由PPHAB得到△PHE∽△AOB,利用相似三角形对应边的比相等表示出PH,然后根据三角形的面积公式求解即可;②利用S△PQE:S五边形PQBOD=1:29列出方程求得t值即可;(3)分当⊙POB相切时、当⊙POA相切时和当⊙PAB相切时三种情况分类讨论得到答案.

试题解析:

(1)P(t,3),Q(8-t, t);

(2)

①如图1,P做PH⊥AB

△PHE∽△AOB

S△PEQ =

S四边形DOBE= ×3=18

×18 解得t=-(舍),t=2

(3)

当⊙P与OB相切时,分别过点P、Q作PF、QG垂直于x轴,垂足为F、G,再过点Q作QH⊥PF于点H,如图2构造直角△PHQ,

此时,△BQG∽△BAO,BQ=2t,得QG=HF=t,BG=t,

在Rt△PHQ中,PH2+HQ2=PQ2,得(3-t)2+(8-t-t)2=32

解得: t1=4(舍),t2

当⊙P与OA相切时,分别过点P、Q作PF、QG垂直于x轴,垂足为F、G,再过点Q作QH⊥PF于点H,如图3构造直角△PHQ,此时,△BQG∽△BAO,BQ=2t,得QG=HF=t,BG=t,

在Rt△PHQ中,PH2+HQ2=PQ2,得(3-t)2+(8-t-t)2=t2

解得: t1>4(舍),t2

当⊙P与AB相切时,如图4,此时, PE=4-t,EQ=2t-5,

由△EPQ∽△BAO,得,∴,解得: t=

∴当t= 时,⊙P可与△ABC的一边相切.

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